如何寫證明─零件、目標模型、組裝方法

樂高積木拼成的車子！

今天複習高淑蓉教授開放課程的第五講，談到「如何寫證明」，我覺得她用的比喻很貼切，而學證明除了可以在數學上推理外，培養的邏輯能力在現實也具有普遍適用的價值，所以我把它寫成一篇文章。

證明就像「用零件組模型」，它分成三個部分，已知(零件)、求證(目標要組出的模型)、證明推導(模型的組裝方法)。

已知：問題給出的條件，配上課本章節內的定義、定理、或性質
求證：題目要求我們做到的、說明某件事...
證明：推導過程、闡述前因後果、來龍去脈

我用一個很簡單的例子來說明這三個東西（應該連國小生都看的懂？）

現在這個班級有50人，他們只有兩堂選修課：日語、歷史可選，可只選一個、或都不選，也可兩個都選。結果出來，選日文的有21人、選歷史的有37人，小明必修課有修數學，問這個班：
(1)日文、歷史兩科都有選修的人數最多可以幾個？
(2)都沒選修的人最多可以幾個？

先別急著說答案！我知道很簡單，先自問一下，這題目它的「已知」和「求證」是什麼，很明顯
已知條件有：「這個班級有50人，只有兩堂選修課：日語、歷史可選，選日文的有21人、選歷史的有37人，小明必修課有數學。」
在這裡求證就是他問的問題：「1.日文、歷史兩科都有選修的人數最多可以幾個？ 2.沒選修的人最多可以幾個？」

現在求證就是我們的推理過程或計算了(組模型的方法！)，先整理一下想法：

「修日文有21人，兩科都有選修的人一定有修日文，所以兩科都選修的最多可能達21人，絕不可能比21更多了；再來問題是『21人兩科都選修』這件事能不能真實發生，答案是可以的。」

Answer：

方框表示全班50人，因為現在修日文的人也都有修歷史，所以紅色(日文)就被包含在橘色(歷史)裡頭了，修歷史37人，剩下13人是都沒選修的，總共50人，吻合所有條件，這件事可成立，所以兩科都選修最多可以達21人！

這類問題通常放在高中簡介集合論的習題，我上面過程沒用什麼算式或符號，但那無礙於這篇文章想表達的重點，剛剛這個題目「小明必修課有數學」的已知條件沒用到，想想在組積木模型的時候，有時候有的積木沒用到還是可以組出你要的模型，是因這個問題實在太簡單，所以馬上就能區別出什麼用不到，高深問題就沒這麼容易了。

高淑蓉她在學期課程一開頭也不斷強調一件事：「從所求想起！」她的理由是，如果從條件想起，條件可以衍生出的事情太多了，你不知道哪個是跟現在要的有關係，我的理解：條件本來就不可忽略，而在過程中要想辦法讓「條件」和「所求」有邏輯地串連起來。學證明就是在不停磨練這塊，數學的專有知識也許在生活中沒什麼用，但練出來的邏輯能力絕對派的上用場。