為什麼(-1)x(-1)=+1、不定義分母為0的分數

這陣子看《數學是什麼》的前兩章，談數論，一開始人們只有正整數的概念(計算數目是大部分普通人與生俱來有的能力，跟這也許有點關係？)，基本的運算規則有：加法乘法的交換律、結合律，還有分配律。這些規則非常重要，標題下的那兩個問題就是根據它們來解釋。

正整數加和乘的基本規則

交換律
a+b=b+a

axb=bxa

結合律
(a+b)+c=a+(b+c)

(ab)c=a(bc)
分配律
a(b+c)=ab+ac

(我略過了作者用圖形化的方式來講解交換律，這些規則因為生活中經常使用，已經成為人們的「直覺」吧，就沒著墨)

而減是加的逆運算，我的理解：(a+b)-b=a，先+b後再-b，結果還是一開始的a，+b和-b這兩個動作的效果互相抵消，同理，除是乘的逆運算；日常計算數量這種簡單問題用正整數就可以解決，但像是1-1、1-3的結果呢？正整數無法表示，後來又「引進」了0和負整數的概念，於是數的效用更廣了。

為什麼(-1)x(-1)=+1？

在「引進」0和負整數後，為了使原本習慣的規則能夠繼續適用，勢必不能允許與規則矛盾的情況，若定(-1)x(-1)=-1，則這個式子：(-1)x(1-1)=-1-1=-2(採用分配律)，(-1)x(1-1)=(-1)x0=0(先計算後面括號內的東西)，0=-2？！荒謬的情況產生了，訂定(-1)x(-1)=+1將不會有這種衝突，也符合某些層面的直覺，更重要的是，這樣數的架構才會穩定。

但依然有些問題有待處理，測量長度、面積、重量…，我們雖然訂定了標準單位，但通常測量的結果不會剛好是標準單位的整數倍，而是落在標準單位的兩個倍數之間，所以為了更精確，就把標準單位再等分成n段，對次單位重複做同樣動作，我們就能得到長度、面積、重量…的近似值，這也是分數概念的由來，像5除以3這類「整數除以整數(非0)」的結果現在可以表示出來了。
分數就有分數的運算，原來的基本規則可以延續下去嗎？訂定
和 ，符合交換律、結合律、分配律嗎？
，發現分數的加法滿足交換律，在此a、b、c、d皆為整數，適用整數的交換律，推導分數其他的運算性質過程類似，這裡就省略了。

書中內容講到，我們當然可以訂定像 這種規則，但就會得到 這種結果，何其荒謬！不符合現有邏輯和過去經驗建立起的直覺，如果真的這麼定，那會有一堆東西需要修正，淪於算術把戲，沒有什麼意義，舊有完整的架構可以繼續沿用是最好。

為什麼不定義分母為0的分數？
換個角度，就是為什麼不定義整數除以0？這裡一樣舉一個例子說明，若允許像 這種形式，則根據任何數乘0的結果等於0的規則， ，但根據分數的乘法運算規則 ，得到 ，1=0？！又發生衝突現象了，訂定像 這類分母為0的分數會出問題，又想不到可滿足原本規則的定義，乾脆不定義它。

這篇文章講的交換律、結合律、分配律，國中數學就有講到了，可是回想當時，自己似乎也沒那麼把它們當一回事，不知道為什麼(-1)x(-1)=+1、不定義分母為0的分數，老師也只叫我們記下來而已，漸漸遇到類似問題我習慣這麼做了，當時數學的「規則」沒多少，不怎麼抽象和違反日常生活直覺，常聽到一種說法：「數學不用背」。

想拿高分，有些方法倒是挺有效率的，去補習班寫一堆考卷，或者弄到合適的考卷來多練習就可以了，「數學」變成好像是在比熟練度、誰的算術較強，依靠寫題目累積來的「技術、感覺」足夠應付很多考試。

鹿鼎記裡，韋小寶叫澄觀老和尚教他拆解綠衣姑娘和她師姊的功夫，澄觀說這樣練招式不練內力，只為了應付兩位施主的招式，遇到了其他對手、或是有內力的，難免一敗塗地，耽誤了練正經功夫的時間。

我現在在大學做的事情也像這樣嗎？

ps.
(1)「引進」這個字眼，我實在覺得怪怪的，但又想不到更合適的詞
(2)數學家所研究的一些系統裡，也許乘法不滿足交換律，或沒有五條規則都滿足，ex:矩陣乘法AxB不等於BxA