統計學老師,我又想找你的碴了


是缺了那些片,以致於我們只能欣賞到拼圖的片面圖案?

我這學期第一堂課是統計學,老師一開始跟我們「老生常談」,接著秀上學期的成績分佈,我對自己分數的量值沒興趣,可是當我看到分佈後就陷入沉思了...,我上學期沒參加幾次活動,讀書也有一定時間(這是值得研究的問題,這個時間量值到底是多少?),可是該科成績在班上比率只有中上,這是怎麼一回事呢?花的時間可能比別人多,但成效似乎不夠理想,我也不想讀書讀的那麼苦悶,所以來探討一下吧。

先觀察老師教學的問題比檢驗個人方法容易,而且針對這些問題,自己再想出對應解法可能比較有效。


老師的教學─來龍去脈沒講清楚,補充太多但學生嚼不爛?

老師上課主要用講義,內容條列式,跟多數坊間中文教科書類似,其中很多定理、公式、性質並沒有提供證明(1),比起我們選用的原文書,講義也多了一些未解釋的中文專有名詞(2)
關於(1),我知道我們目前基礎知識不足、數學功力未到,老師不談那些證明是正常的,所以重點應該擺在讓我們知道觀基礎、理原則還有何時使用這些定理、公式。(以下舉實例說明)


比較有條理的流程─以學習Estimation為例

在統計學原文書Ch11一開頭談到Statistical Inference(統計推論),可分為3個部分:
1. Problems of Estimation(估量的問題)
2. Tests of Hypotheses(假設的驗證)
3. Problems of Prediction(預測的問題)

假如現在有一條組裝生產線,你想知道線上每個人平均組裝時間多少,普查是一個方法(真的去測量所有人花的時間來平均),這樣所獲得的資料就是「母體數據」;可是有時候普查執行上很困難或不可能,就必須改用抽查(從全體抽一部分人來測),所獲得的資料是「樣本數據」,然後利用得到的「樣本平均值」來估「全體的平均值」這就是Estimation的一種

Section11.1是關於Estimation of Means(平均數的估量),在這節討論問題都是以一個很重要的定理內容為基礎:Ch10談到的The Central Limit Theorem(中央極限定理)
當從一個無窮大的母體抽取「很大的」隨機樣本時(這裡的很大,其中一個標準是抽取的數目n>=30,就上面例子而言,就是抽30個以上的工人來測量,不過前提母體得是無限母體...),抽完放回再抽,重複很多次,把這些樣本其平均數的結果統計出來,畫出分佈圖,結果會近似於「常態分佈」。利用「機率密度函數的概念」和「常態分佈的性質」,我們就可以知道估計的誤差可能多大、有多少把握,這就衍生出「信心水準」...。

如果沒以中央極限定理內容做基礎,就不會有衍生的「計算最大誤差」公式、信心水準那些東西了。

結論:
要理解這節Estimation of Means的內容,應具有抽樣方法、機率密度函數、常態分佈、中央極限定理的基礎,並掌握其與Estimation的關聯,如此即能學會。


實際上老師怎麼教呢?

可惜問題就出在這裡,老師上課時並不是引導我們思緒沿著上面這個流程走的,一開始他舉幾個Estimation的例子後,就進入講義額外補充的統計資料某某性質、公式,一個寒假沒碰那三個東西了(這是個人問題,我承認),記憶有點模糊,加上我們還沒拿到講義,光看投影片,很難了解他在闡述什麼。另外很重要的,這節討論問題以中央極限定理內容為基礎他沒提到另一個條件是「母體標準差」已知,不然無法使用公式,也不曾聽他說過,把內容很不紮實的上完接著例題,唉!那兩個重要前提如果沒先掌握是要算什麼啊?我用個比喻好了:

「微分定義你"不知道",要你證明某函數可微分」,現在這是笑話還是腦筋急轉彎?

老師沒好好串聯我們當下所學(Estimation)與之前所學(常態分配、機率密度函數、中央極限定理)的關係,學生對於內容之間的脈絡不清楚,思考時很容易就陷入上述那種「無從想起或不知從何想起的情境」,更糟糕的是,那樣學數學就變成只是「流於形式的計算」了。

A→B,A是之前學過的,B是你現在學的,可是你不知道A是推導B的基礎;現在你不知道一條道路速限多少,卻問你現在這條路上,一台時速60km/h的車有無超速...。


公式真多...,但就是背起來拿來算跟忘光而已?

老師想多傳授一些知識給學生立意良好,不過講義內容裡,很多名詞、性質...,對我們建立統計學概念基礎而言不見得是必要的,給人感覺只是為了讓小考有東西考而加進來的,比如說之前的峯度公式、偏度係數公式...,這可能很重要,偏度描述「『實數的隨機變數』的機率分佈」的不對稱性,但是公式怎麼來的我們毫無感覺(因為數學知識不夠、能力可能也不夠),硬是要我們背下來去算,考試考完不到一個禮拜就忘光了。

雖然微積分老師在極限那裡也是要求我們把定義背下來,但那是有意義的,因為其思考高度與高中數學相差太大,我們可能當下無法體會,先把它牢記在心後,透過實際推導+時間的催化,日後漸漸就能理解;但是那些公式背下來之後,既不能訓練多少邏輯能力、又無法提升思考層次,充其量也只是拿來計算而已,我沒有輕視公式的意思,只是我們「背公式、套招」這種模式可能搞太多了,結果造成對一門學科的掌握片面不全、體會不深刻,何況這些與定義、定理相比之下,是比較枝微末節的,定義定理是思考的基礎,雖然不會考你默寫定義定理,可是你推理都要依其而行。

考試引導教學甚至於學習,雖然積弊難改,但是要知道,蓋一棟房子挖地基、立鋼筋、注水泥、砌磚...一些必要動作都是為了房子能穩固耐久,現在地基沒挖好、水泥混了雜質、或是砂子用海砂,這房子一定會比別人早出問題的。

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